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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 #C k['2*(  
%.Dq?$z1t  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ` =t{>rU  
9K4QA--&T  
　　1、三角函数本质： xZ`L,Jij&,  
Z,bK+  
　　三角函数的本质来源于定义 n{bCE4  
bar[,"/i  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Z|o$8s>5}  
~+e `Dr)  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 _@FD<c  
vIn2VHHW  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： o/"5$fB>  
'r_L/|tS  
　　推导： [ubV\fSgi  
d#HjNEJpD  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 \, qKdXp  
7lrC Vpr  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) t@4U&S_d  
3+\+L  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) :\X? o)7  
SzB7_  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 iZBr$o%P:  
8#Tk6r:  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） w-| ?8"RY  
uf~RU L1-  
　　[1] ?`P0e:V  
7'n|.<PIe  
　　两角和公式 9FV54@Aw  
u7 !oGs$  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB z;hjhT{Hy  
O(Jy25F1  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  +x\$DAkg  
qlkY\m}d  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB W=I6B  
0yS!d&OkB  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB E>. &K6y  
yu.$i)  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) qJt^5*-  
fp}%3 'k  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) oOKA r|`X  
Hm EHnJ2  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  v'm k/oS  
Dv&89y_`  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) y5)9R  
uw4l'*M  
倍角公式 t9*mYWR  
leZ ^:#  
　　Sin2A=2SinA•CosA .iv-"f{2G  
~ c"]y#  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Ix-Ilt  
I%)R{gnN  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ENz-#5H"  
@d& Q`NF_\  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Gb|=Lj|  
)c;)0>,_3  
三倍角公式 !rp>5e2   
o d\%1 bH<  
　　 (rs4XXX  
9Tve4|n_  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 5%Ouk6ziL  
)h9 j>{  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ?r?h{]Zk  
~}IBH_loY  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ieMg`% I#  
[zqVmx  
三倍角公式推导 m`=]_hY  
X.V6#(M  
　　sin3a AG:^((_  
8Nyek\_{E  
　　=sin(2a+a) >$B|p P  
1Ou@cIk  
　　=sin2acosa+cos2asina Z$uIN"-  
~jiv@  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina /a1 FTP~  
o[I[:y4>{  
　　=3sina-4sin³a 5m=5,}g7X  
#("9 {s  
　　cos3a o;,3*NTHC  
9Gh`2v  
　　=cos(2a+a) 2f+ <|{~  
nbJpYzU16P  
　　=cos2acosa-sin2asina } [K g`g&  
We Y!tBcn  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ~?3DG=l  
!>^LRl4NX  
　　=4cos³a-3cosa -PgwJr[k~  
ELU:|Oq  
　　sin3a=3sina-4sin³a *cF xBM+  
=]e^)*r~,  
　　=4sina(3/4-sin²a) ocTgiy%O  
$%*']ol  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] dTr+"2;l  
|s 6/c_,?  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ` /Rx 1  
yq:RzQG{ l  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) H!({jr7Q  
{.t8Wh_c  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] fRIj8xS  
B+%OXtMD7  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) e+LkW6w ^x  
2Dy7Yhz7  
　　cos3a=4cos³a-3cosa {+T&XnjK7  
Rd DVm  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ooVn@>W  
:c HuS?  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] NEG5qrVi  
v3yqE-Y3(  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) vc Q?rFo  
{2"\p&<cB  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Gb^Dx2h8  
]bO#@,  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} x l`d3z  
1YvW5LD  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ,6}<722  
5{bur2U  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] jUwO|Rw  
;7&&X'  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] m"f%,>H  
(r~kiEi~  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) jCJ@A.  
Qq6bW  
　　上述两式相比可得 GO}Y?~cl  
sg/y>n.  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) @ s 3h~  
!:^  
半角公式 <U*`nP  
~5VF=j }  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); =-`JbBFB  
|%uuL.p:,  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. BSe0cKJ<k  
xw-fm6Vs|  
和差化积 -e-)%!|  
s,9b`9Y  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] #Em  
mP.r"30&>/  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ep3lkURR!Z  
G:O\^%G  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] jh :4O  
FUo@ _Y  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] )yMi5^s:X]  
iNu\:p.kC  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ssX_M}?  
DJW r b  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Mpo.Vod1w  
x%heWO  
积化和差 a# D3y  
hD]!NZGR3  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] dZz)CGDBN  
nvc)+Id  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] A4}IDl-*  
mRSxd3@m9  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 4MeL  
H4I>2 |9m  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] [NQ*|U=_ ~  
=jt[-'@  
诱导公式 0h6mYe41  
+{H` 9I  
　　sin(-α) = -sinα S`6@,#.IP  
3x<L8mLS  
　　cos(-α) = cosα ^0=g$CRy\  
QJ&_T2X  
　　sin(π/2-α) = cosα  B|Kec"wb  
/64d\8Q  
　　cos(π/2-α) = sinα XD `tGRGD'  
+x<&bCMWQ  
　　sin(π/2+α) = cosα Z` j]1Q  
oWGJEE%e  
　　cos(π/2+α) = -sinα ?B UizRE  
[!_ZTjh`l  
　　sin(π-α) = sinα oCI#5q;/  
{QSFK"  
　　cos(π-α) = -cosα Dh>$h6qp  
:lt4"vzM  
　　sin(π+α) = -sinα di  ?i-  
Vw{Nl3  
　　cos(π+α) = -cosα a_!iPK2)  
#U@bj0S  
　　tanA= sinA/cosA )(L \   
6kviR&  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα DSRBy l  
A9i e  
　　tan（π/2－α）＝cotα oH !MV!}  
be0jMbe  
　　tan（π－α）＝－tanα xU^%:%{E  
m,^Z{S  
　　tan（π＋α）＝tanα f b^x a4'  
Auj$Vx1hZ  
万能公式 1giE 96k  
vG^Q-q0  
　　 Z@5UWI%B  
hr{**5f^m  
其它公式 Xm^5_gu  
H'&\` CS1  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 >53:^|  
O@8=>gFi  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2  Xf:UKbj  
X6;J?HO  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 1>I[+k(U  
(Y63f<6  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 |Sd|~8$%c  
~R>1`n+?w  
　　对于任意非直角三角形,总有 rdVTj\  
{-O*&#  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ?V+ \ xKG  
Gg)8.sSk  
　　证: JZ-]f5  
WW(JAx  
　　A+B=π-C nu-f<bG'58  
V^J j0KO  
　　tan(A+B)=tan(π-C) }VKDr f0^T  
11jx-9  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) V:Z5/"-HA  
X:R;Mzzq ]  
　　整理可得 )i^HD6O5  
_ZzaD%  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC XyyV'At_  
&8^-9\jyp  
　　得证 6RW//B,`  
*EK1& H&  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ,Ac>dBj  
9!F d&=1h  
其他非重点三角函数 wu^EH  
q<c =  
　　csc(a) = 1/sin(a) ^dm C8pXq  
M = dFqy7  
　　sec(a) = 1/cos(a) S<8.-591  
 Lv_u( )  
　　 [V$,sd^RI  
17 (e$T"  
双曲函数 o- bW r^l  
vK4**?b  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 `{69(kA\  
Og\[^u8  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 F Vys`K  
z2*w;DD  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) hB1{,LJN^o  
;Yzl'ThSA  
　　公式一： W'lEX6)xXU  
bI"PP'  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： M}8+{  
4_~7&-  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ]+b%`>  
1g dVpMf  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 9]_F2L'>6  
paVq@$iw  
　　tan（kπ＋α）= tanα %m9|TC#  
=wG}b]P<  
　　cot（kπ＋α）= cotα ?J8qb=/drC  
O@VvHczrm  
　　公式二： ,$['5$m  
2Xw.osw  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： y6AJxU  
'gp"AW,|  
　　sin（π＋α）= -sinα HQ^BS,  
YRrrCG '  
　　cos（π＋α）= -cosα cS' OrA r  
G=/ 8OC  
　　tan（π＋α）= tanα en7 xx   
k>]@6U  
　　cot（π＋α）= cotα 62MEn}v<  
{OY.f*"t^  
　　公式三： "oOa+A  
t%b% Mt*  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Zh)21{  
7cDL c2~  
　　sin（-α）= -sinα yw`Wtt-0  
m&'9zN E}  
　　cos（-α）= cosα 2 TNo @JN  
wD r)"r}E  
　　tan（-α）= -tanα %lF=0-z  
d6A #s0ek  
　　cot（-α）= -cotα K6z{hpizm-  
3b9,Y4A>-  
　　公式四： R-v^ ;"  
"!y]w_)<  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： p +U7yCm  
3?aZ?J0  
　　sin（π-α）= sinα X0{sg}{  
WMgD>LA;{O  
　　cos（π-α）= -cosα /k%U:L)92  
tyK'B{frc  
　　tan（π-α）= -tanα //-SO1?`a  
,Et|+2`^  
　　cot（π-α）= -cotα 4>`(@*P  
"9DJ ;"\  
　　公式五： mMNQ;Z,I  
`x];I0KnJb  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： A,lTEK8{#  
McQ2?{8)'o  
　　sin（2π-α）= -sinα Y@/?G  
fD~!0dG%a^  
　　cos（2π-α）= cosα 1C#S8a9G)  
o?NB`fv  
　　tan（2π-α）= -tanα !k5>15  
~Eq @}T-5a  
　　cot（2π-α）= -cotα (?N}6~Oi_w  
rD`Z>;{E  
　　公式六： #6uU\*,8>  
Kc N'nd6z  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： @qP(&yb;v  
%.8RZE|Y]  
　　sin（π/2+α）= cosα T\Z?0\,  
z 3u(uU  
　　cos（π/2+α）= -sinα gg R~4K  
~jOWw9  
　　tan（π/2+α）= -cotα pvFuGKe  
=`Z eQz=  
　　cot（π/2+α）= -tanα MRYS1V  
; &WwW]  
　　sin（π/2-α）= cosα &82 l9X5A  
RI I~CW{  
　　cos（π/2-α）= sinα `^C2{R@ Q  
kag+(Mc  
　　tan（π/2-α）= cotα 0\/cjdCu  
A*,Mp{dZE  
　　cot（π/2-α）= tanα RH~:cs_  
P>}e)A/%  
　　sin（3π/2+α）= -cosα v<C %  
96;/sR`  
　　cos（3π/2+α）= sinα #|sH^ %  
!| oZ/P  
　　tan（3π/2+α）= -cotα #gc0'-0^  
QgBU{0d  
　　cot（3π/2+α）= -tanα $T;)yc  
gzg<G45{  
　　sin（3π/2-α）= -cosα #:] B_$MT  
v O*j Y  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ~h\wiDM   
*("|2?  
　　tan（3π/2-α）= cotα <VM>ri`  
Dmte@[1*_D  
　　cot（3π/2-α）= tanα -M'E6'L  
6cZy*{*  
　　(以上k∈Z) 5XrG#}@x  
9lM=oj{^FC  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 -]'y99  
mAlz wDB  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = f9r8RjRKZ  
iYwudtk%  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 0/G3|eV=:  
&z\-Rn5J  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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