永福╉留痕

三角函数内容规律 o=<i~qm  
\4'zX-,L  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. %:
4:c  
b\.@I! z  
　　1、三角函数本质： U;T-ogt  
E:_m4$i  
　　三角函数的本质来源于定义 xu>Vw c  
DvaX;l$3y  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 nrfQm$T&p  
[h\ue k~  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 6Qh8UP20x=  
z _VHhXX
n  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： &"VQ5}  
5Amj%k`  
　　推导： 0uO e/ p  
gF+Z+yby  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 zN)w,g  

_K75tD
}  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ! PE)dIu  
r[M2C4 fB.  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) WV1Mt?vW  
ZuS<Cj-  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 g )tp!{4  
x:s3>Vw  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 'D)Yl?W8I  
GXc@%%2  
　　[1] |u6d/xu  
dr^ k?sB  
　　两角和公式 `E3|`hS+8  
c#g3{FE  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB BjG"Ng.z  
.@K+y6)}  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  {27uu  
gK[pS$8zT  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB a@ %v"@)  
(H_#bu;T  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 4#e|q.Zl  
vM.O;Z  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ppw"`uGl.  
=47dpGc`-  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) u,f+9;UVu!  
#|W~6_k{  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ?:! ,`9r8  
sr(gM+  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) #$v5!  
"+Al#_7q  
倍角公式 AFL>051v&  
%*]h.@"  
　　Sin2A=2SinA•CosA Gn`dl  
88a]B]  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 N!ES'  
r/A(:Uv1O  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） :gkD\Sq*  
WJQ*0eEN  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） >]R`#b!L  
F:Y'G mxd  
三倍角公式 B?!Z"'D  
I@Cr&Ehi  
　　 YB+XG8';  
)4fb4 IL%  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 61d_i-U  
"pJ  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Vtb#XuBVF  
%[<g Op  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) |In`(V"  
FPp-U?R  
三倍角公式推导 [/k^OOX h  
HrG} 1D\[f  
　　sin3a 4S:\JaY  
~Xy[T3mu  
　　=sin(2a+a) ,O:\<agc4w  
=0?@1n72  
　　=sin2acosa+cos2asina 4Pc+v^}%  
W$gA Oo/  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina wyp;"dYf  
}I(r' !  
　　=3sina-4sin³a H8OYs *'  
FS",G$~  
　　cos3a (oMr'ky  
PC7>*6Y7{Y  
　　=cos(2a+a) nIe0\ub  
v6^h J  
　　=cos2acosa-sin2asina !%^h* =20  
){v=xv  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 4Xi!nD  
iNn5Y_Ef  
　　=4cos³a-3cosa DmxEcew7|  
@vqG mT`  
　　sin3a=3sina-4sin³a eT>KM:WjBc  
brkgYW@z  
　　=4sina(3/4-sin²a) 2*'YX ,  
CU(XR| Qq  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ]dAk9;SKS  
=}Z}7dD  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Fb/mIYBFW,  
)&zX.pY%xN  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) = ~-*?hg  
K{Q
)I/wR  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] @ $HJvxi2  
1{cYf4qW  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) &>5j9T  
lw"kGDg  
　　cos3a=4cos³a-3cosa NV`g(2PN  
4vc
hMM  
　　=4cosa(cos²a-3/4) @#tX}l3my  
U Un*][h  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] iRMr="+$  
~[y=Aaqfge  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Pd^56Y
z]  
uH/z,1"5  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) B(SN\NrK  
_~SE
9  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} YomN2O  
*GOy2  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) O^Zwb96[  
}cc 4d"Z  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] }]#^
w
']  
s%pcP,n  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 'Upk-  
LfV;'tY\  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) TqtG~2km  
@|YiT^N  
　　上述两式相比可得 ]d OiN3[3  
Cx>h"d#m0k  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) y6"a'  
RL:},|\^  
半角公式 > 49l`<  
5/P6J,\Ty  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Hc8zeag('l  
Y5[2Fyf  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 0Y}cF E7X  
Eq&SW;>  
和差化积 W7U
-U  
Yl%TS\  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ">ta\=(qf  
`xf=W
D)t  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] xx||56} b  
:?!g3;=  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] %eo 7J|t  
6&}~IT
+  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] odK,j _  
YW_D&dIC$6  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) B|3{ ]
(  
~M[aVc|VBm  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) T"K2zSU{  
zSr!E{z  
积化和差 Ny[EE9^v2  
ofw,-F_MF  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 5<G @ mSJD  
/@"pmg E   
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] !aJ~uF]K6i  
)x+l3jdhF  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] >^(+]l  
FrHIrg|  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] iXG^luEF  
xkq 'W M{  
诱导公式 tF?zwSCT  
9=uZ23@jG  
　　sin(-α) = -sinα ^$j+)^rd  
d`CA0(i8j  
　　cos(-α) = cosα C15\;!{D)  
{(4FvkM  
　　sin(π/2-α) = cosα
z8QkE|`eb  
0WBA2"bT  
　　cos(π/2-α) = sinα oGeOU)  
ZER!,~ef  
　　sin(π/2+α) = cosα eCr!tF  
(BVJ$6J  
　　cos(π/2+α) = -sinα %PX^;<  
~Y{f9UVk  
　　sin(π-α) = sinα ^Kor/$bqb  
y./P&';  
　　cos(π-α) = -cosα I7.f\;*)[  
`Bs.tT~  
　　sin(π+α) = -sinα >3wrO  
@ BBxl x  
　　cos(π+α) = -cosα {U{+"
K<  
"vA~=hab  
　　tanA= sinA/cosA Qyua-vxm  
WcXoqRx]X  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ;%~ 4!sq-*  
K@4-\lB  
　　tan（π/2－α）＝cotα ,#OCiYwa4  
"g\-Heh|@  
　　tan（π－α）＝－tanα Ids4x=70  
:lF7!*b!G  
　　tan（π＋α）＝tanα e6 c I  
B'Wn1J  
万能公式 ;* )I
,2f  
2T  
　　 j FM;]]_zY  
oQka&WH4&  
其它公式 B+)?+ZM>  
UvAhpy%>  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 "K#4dlM,7m  
#'aI@"s!F  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 H"~0J~
6  
rPk+k+j  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 rQgLVr<pp  
H%(mzPw  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 lt9#AR3"  
<qzG@  
　　对于任意非直角三角形,总有 qp ua  
d<It+U<  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC \-0$a2F}D  
pB}(0}dB\  
　　证: 3^+#Ud@H  
8pS}Y  
　　A+B=π-C $:uW`_ue-  
kOXz<DPc  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 2kwL6
V7  
kb6+,L-  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) /F4I2  
uk.o4mo$1  
　　整理可得 -?H*V=c  
BB]F;.{7sQ  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC X6;K0  
S33eD7  
　　得证 Oaq Y D  
/
lseQ7^f  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 @dkFlc"S  
7G_wG9S5J  
其他非重点三角函数 ,lVyW*gK  
k%05JE  
　　csc(a) = 1/sin(a) ]$/eh^\  
-.eO`  
　　sec(a) = 1/cos(a) % CsK2 &P  
|WIAEFSO9V  
　　 9`6m+x[hi=  
!(:H$?   
双曲函数 sX\uzs"g  
TG Sq++I  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 !aGl&w}Q  
GQ w)#nr  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 b
9"z)2  
VF{i8{J3X  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ') yLf  
]_6]Z`nK~  
　　公式一： TT=;2}=  
D$
`.@$Q  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ~T}F(y8Eoj  
a 58Tzu  
　　sin（2kπ＋α）= sinα gsE05=)t  
8
t\(<eo  
　　cos（2kπ＋α）= cosα w:,3WD?  
i(|j*(5+  
　　tan（kπ＋α）= tanα 66gro(4De  
z~~2n,6k  
　　cot（kπ＋α）= cotα Sdlr<K  
`8Hh-r8d@  
　　公式二： 9i; 2IqjR  
%4haN,*2  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： w3W:WO4@  
S/MhCTog  
　　sin（π＋α）= -sinα 1OtS~wpe  
b-ra#r  
　　cos（π＋α）= -cosα 88\VQ8O2  
*8I@9/o .N  
　　tan（π＋α）= tanα x6Cr:<Gn.  
^|h!&:l#M  
　　cot（π＋α）= cotα OHYGgkT  
Dg?oGO?  
　　公式三： TJO$d`t{  
]mn3a$eN  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 4$5[4|\=  
*5ujBJ+]  
　　sin（-α）= -sinα 1[Z5cFp  
)vfKvq:  
　　cos（-α）= cosα :1.c"r d  
Z"VCPg  
　　tan（-α）= -tanα J+=dco][  
3MN$%vxz!s  
　　cot（-α）= -cotα 85v`vb4G  
hokZ3`El  
　　公式四： % }b+_  
5ICFvW:S H  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 'B/+aVcK  
5yfQh{_c  
　　sin（π-α）= sinα w`g~U'1G  
[>$Tb#dKy  
　　cos（π-α）= -cosα iB5%d&)'  
V&;3PJbG  
　　tan（π-α）= -tanα Y8*ph f  
b;CNNwI  
　　cot（π-α）= -cotα Y eIG/  
u_`/B?iB  
　　公式五： *& aP|)8  
B'BcX[b|_;  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Fz3njUSvq  
02Et0awr;  
　　sin（2π-α）= -sinα xo4UVcuA  
\9l-nf  
　　cos（2π-α）= cosα LTv#i::  
a\]h<<\"  
　　tan（2π-α）= -tanα 4]7r8,  
*Dc-Ao^B  
　　cot（2π-α）= -cotα O.6\Sz*~  
$>$`9 6  
　　公式六： bV .}wV  
c%\OiC<t  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： BOHf:?cR  
wCk|ME8  
　　sin（π/2+α）= cosα &`
P>/}'  
pBV 6IfvF  
　　cos（π/2+α）= -sinα C!^peszf!  
"yj #P*|%  
　　tan（π/2+α）= -cotα 0CzR#+V+  
8PlR.pn nu  
　　cot（π/2+α）= -tanα v;Uwjbv3  
Dz>FN,y'o  
　　sin（π/2-α）= cosα `4[ 76X  
6pG9+89U=  
　　cos（π/2-α）= sinα H%W/l3:3i[  
-ik[`L  
　　tan（π/2-α）= cotα ; YZ`Ohcd  

|h/=  
　　cot（π/2-α）= tanα #qD 0[HX  
x1*=77F,  
　　sin（3π/2+α）= -cosα T%ndB/ xR  
@ysBC  
　　cos（3π/2+α）= sinα <%r{!_m  
:Smk9$^  
　　tan（3π/2+α）= -cotα {?RT@}snf  
B=XouuZ+  
　　cot（3π/2+α）= -tanα  m  
dV(r8  
　　sin（3π/2-α）= -cosα QBmNI6nV  
y"qi3dXC  
　　cos（3π/2-α）= -sinα +1hL
E  
cF%c0ae=  
　　tan（3π/2-α）= cotα ?wcP inv  
ACO>>a) |  
　　cot（3π/2-α）= tanα Y.BpVH^  
d}dvN'+  
　　(以上k∈Z) 7(IM{>+  
tTp/P+5  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 9xz{0luR  
,[3]3kY*n  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = f4@6'/N  
8JWa0o#  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } s&I:R  
O)H^%5  
　　√表示根号,包括{……}中的内容