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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 DCsZB[HO  
; visQT[U  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. %flwK$YV  
JJ!EMlHBYz  
　　1、三角函数本质： kSv>t:+mH  
WR&fd  
　　三角函数的本质来源于定义 >1d]#s[e8  
U0}t5Y/  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Q&S<bC+O  
<NDDmgJ  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 A poEb,W  
,0dR>=qT  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Zjz]UwIt  
cx6zf6sU  
　　推导： $vtAvfq5  
>m; "@Cno  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Ly|8 [%  
&7 'nS  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) <_cA}Y;w  
>]~w   
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) N'>oP*?[  
D$js3cS96  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 xPg6y"5tY  
'f0le&ko  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） i&9P`[^w  
p0I%I&  
　　[1] j?}I\9n}  
zSg]6H"s9K  
　　两角和公式 4uauYc-  
LwwfK#/  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB E89 0F^C  
G c4ouyUd{  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Wr+k;O@;*$  
[h\D{5jAi  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ?6d^K3 c  
^r$eXWa  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Iv^QBR*  
!ag+{j0.#  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) PsW:Q' =  
(Hq.|9DeN  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 7mx(\0r  
ry(X7%<7  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  9)(An(C  
4TWe,gn8]A  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) cI;H|`  
`^ZC%cE |  
倍角公式 iJF'O@-}f  
]6:ihJZ<R  
　　Sin2A=2SinA•CosA Aa2I)C  
'K m8o+m  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 /)~k;PqX%  
R[.\'GT68  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） \re}CJ,  
~B)8]Cz  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） &Cv8_tcH+  
c*,l4e  
三倍角公式 E90?LK6  
LcB=UhJz  
　　 y 4M?EQ  
]JuEVAg*F  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) <6Fl[?V7W  
vYtJ$R  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ^whKc[08O  
r IV1X6b`  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) mI _]W:$_  
Ci\m*z,z  
三倍角公式推导 ta?D4<eAb  
e"M%I/maM  
　　sin3a 0uvjU:|}  
]e(Pa  
　　=sin(2a+a) MYmqQ&  
.io^M2;#\o  
　　=sin2acosa+cos2asina e/LrAbHo  
<Bh"@ [  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina v(D` 5G  
F9(3UYz  
　　=3sina-4sin³a ^N#"5e3^?#  
,h?h44i  
　　cos3a tk]5 }H,  
8W^pL(8d  
　　=cos(2a+a) iw^U.O  
:~$ ^=7uI  
　　=cos2acosa-sin2asina rLs~HAHL.  
c)"/lN  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ]UA&  
gZ VNNu  
　　=4cos³a-3cosa .TFI<N;  
0U nlF!6'9  
　　sin3a=3sina-4sin³a 8(p\d (  
'F s!;<.  
　　=4sina(3/4-sin²a) j* .@7  
Q(Qk  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] BVD# _`R7  
R4*SZdE  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) gt){84Qa  
OG [Kua,8  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 'HVpGP+j  
'Rmkt)  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] |-[vC]uW  
47a =uo#  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) T]:n!f  
2u*h a[  
　　cos3a=4cos³a-3cosa [_ pU^fL  
zw\|Df,#  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ~ "lpzH"u  
Qu<1mPy;  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] F96GEG)BF  
;W;h"Jy&  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) %!sd^ S  
[ i2+E4O  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) +ie^O%q  
Qh, L?.  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} F0D^}8  
i>f>Q tue  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 7^r}toAp  
{v42-6K  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] +@ttknZi  
+ml 8 Z:  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] !@H=y-  
6yu'`OV  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 5Gt_~S<Y  
~{P9nXI  
　　上述两式相比可得 +@*tfP  
H tD^QtF  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) TKkdU,PU  
T/r{Qi-+B  
半角公式 pR9Ml|ZR-  
BJ69B_  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); h]:T 29,  
d&\pl(c5P  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. DSQG <0g>  
.& T:[`f  
和差化积 `=Zk+g$A+|  
Fq %.l  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] u^FKis+[ W  
b{,KWoGH  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] VWO"e5  
hjZ^$0X V  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] J)J25v>5  
.4(OGRJ  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] >qc `V;`  
<8^~r}#D  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) O2fkZkR\  
wn .^l  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) qw<7Dwg  
OgzL$6  
积化和差 lj] u=X$  
/Sz)t)"  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] noEoR  
a TKvl0  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] rS%8FQ*}  
injI:z  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] q 7p|R!  
Tr?-Wj'RA  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 1ei-"Ul  
hNm/^?:@@  
诱导公式 am-=} Dl^  
_$9U oA  
　　sin(-α) = -sinα ~%B'u7 7W<  
SI/L8dt  
　　cos(-α) = cosα .;z#IsDXm  
 0-@F 9*  
　　sin(π/2-α) = cosα B\&% IU  
fk#\1*  
　　cos(π/2-α) = sinα `VbwV>ek1  
1 x]$ ()[  
　　sin(π/2+α) = cosα ~tO/4*~  
_|2O:t ~K]  
　　cos(π/2+α) = -sinα d3_sH7Jlm  
V5)hubKUh;  
　　sin(π-α) = sinα U5$q#v  
2x Y>|  
　　cos(π-α) = -cosα j WOM<  
_t%1n_R`S  
　　sin(π+α) = -sinα 3:+.Tsvhg  
;;="HsL`xi  
　　cos(π+α) = -cosα X@<F! .iK  
XATJ1Lu1  
　　tanA= sinA/cosA LX(I&&G  
g#xpT+;J{C  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα -f!"%h70  
Q"Q2.Ft+  
　　tan（π/2－α）＝cotα oJd )]s  
qiH,R0 d`i  
　　tan（π－α）＝－tanα %0e`m924~  
TZ>;5Egb .  
　　tan（π＋α）＝tanα \7c<;W  
##j }fqiI  
万能公式 )>Yr!u  
Pr1h+C/l]  
　　 RPBIHvI-  
{Xhwz-p  
其它公式 -;-PRM{  
O"- #g>&K  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 g}P'ihJs#  
?Bv5iNU  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 yy Ex#x@  
B Zfk>  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 |[ao%  
p5@kgU5y  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 &)EzW|  
tEZ/@o^BJL  
　　对于任意非直角三角形,总有 Y*D SD  
?pzj;,DA=Y  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC *B5Xh.yu  
ck0:4 DE  
　　证: 9v:jlOTd  
df_b^]  
　　A+B=π-C K,q<#,  
}B& sl  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Z'0G[ =WU  
#12YqyF[  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) |nO&Yk=Y  
[X*p#N  
　　整理可得 lWy Wz!__  
{gDLg6&;  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC \4~thHX  
ju 60/ -  
　　得证 {z.31,$V  
xA cv `]  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 A28H;h  
9sszWt  
其他非重点三角函数 v{F$W'[t0  
nHC[:88  
　　csc(a) = 1/sin(a) A$X@.pLc  
ng*S8%R|-  
　　sec(a) = 1/cos(a) 3JSjo5x  
7sG@OdOB  
　　 /F@U]Rp^p  
+Uw9i&D   
双曲函数 e*(@JU X  
VMq Z0k p  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 &ZGzM  
Wc}6<B~v  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 r>}j?,$  
=FEiRF'  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) lR:  
YD4%o` t  
　　公式一： vETU>  
*JsB{Do  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 8*ol) ?&  
tbw&G5=O  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 4Cden kb>  
3.A,&kB3.  
　　cos（2kπ＋α）= cosα &RJ{>p  
`h; S+kO  
　　tan（kπ＋α）= tanα e_v ~D  
,BxGnk  
　　cot（kπ＋α）= cotα #t`*P{-eG  
rm`xcw"!  
　　公式二： 4o/r\Gvf  
"O1 Z*  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 7a/ /s+_ "  
<ZD.F~[  
　　sin（π＋α）= -sinα Mf5-O6Q0  
]#Lhwej>#  
　　cos（π＋α）= -cosα /6G8,  
0 n7nyNou'  
　　tan（π＋α）= tanα *|{Cm I  
*-mC?K:9[  
　　cot（π＋α）= cotα KbE]B[?  
oZ6odD|b/b  
　　公式三： z[ @2&v8  
OMx+M04z  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： w/d\9~  
A9bI/A\.  
　　sin（-α）= -sinα 7T=|s=`p  
-_7BQ8  
　　cos（-α）= cosα k>';K f.  
MZGQt:73  
　　tan（-α）= -tanα 1HaLX[>  
zU2$N41+  
　　cot（-α）= -cotα 2[3LmoF  
t b28,z"t  
　　公式四： @M)#s|Ygm  
p2*"p4 4|`  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sKa?.o? z  
E)Pf|6vF+u  
　　sin（π-α）= sinα HFl,0D\0f  
X} UNn  
　　cos（π-α）= -cosα 6Q/w?e/R  
aOeV}R[V  
　　tan（π-α）= -tanα Mw 3V q>}  
Q=!  
　　cot（π-α）= -cotα m?0W]eA  
(k{C8ux  
　　公式五： qY&OvvH>V5  
YxIk[}M^_  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： POXU^_Nq  
x=)$CSMC71  
　　sin（2π-α）= -sinα [HWv "Ss  
=_m>@ U(  
　　cos（2π-α）= cosα 7q[??f8K2  
~tq(> [/  
　　tan（2π-α）= -tanα *PWKF5,  
-c2Eqy0?HP  
　　cot（2π-α）= -cotα BMtnwhP_  
!=9j=;.s/  
　　公式六： >"_h06WW|V  
Xdk#l_]  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： >_^;hs  
@6lZ8r?2  
　　sin（π/2+α）= cosα +&rbX,Qj  
 ?mvF-*  
　　cos（π/2+α）= -sinα _B ! w=  
3~bs1  
　　tan（π/2+α）= -cotα {pmC/X  
I (w+}U  
　　cot（π/2+α）= -tanα Xi_Xv9e<  
vPT BVS+a  
　　sin（π/2-α）= cosα a! r0a'-  
VyE?  
　　cos（π/2-α）= sinα Tsr<TdM,  
&f&e.e'b  
　　tan（π/2-α）= cotα 5uBno8>  
F\M)V,AS  
　　cot（π/2-α）= tanα 6W5FK  
{!'[Wy  
　　sin（3π/2+α）= -cosα y[5I=wDqq  
Gv}W~'  
　　cos（3π/2+α）= sinα 7-9Kf _<  
/)P-!Oa  
　　tan（3π/2+α）= -cotα `Y*<m.{I  
< [`9   
　　cot（3π/2+α）= -tanα HcBz&4_r  
>1*ms|8,=  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Q0P/[<'G  
`!b)I  
　　cos（3π/2-α）= -sinα QEr2Y*  
\nPk9ab`  
　　tan（3π/2-α）= cotα of*+z<G9r  
^%DMNH@@  
　　cot（3π/2-α）= tanα ]mjEq~`4~  
x[ V.dwk  
　　(以上k∈Z) y8A$Wi!  
b " L,gt  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 U8Z5*6{A  
d +n~~WGl}  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = }[g=C^  
;a,_kOhF{  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 5tJ FX]O  
;:G19MK  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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