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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 C,u( y&Q  
-$DMA _  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 3o{Pj{l3#  
3<,q?an#[  
　　1、三角函数本质： C7"TvK  
1v o&,{  
　　三角函数的本质来源于定义 9Z;|ShIeZ  
:W>s}q'`  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Ej""QuF)<U  
Q c!zNv28  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 l5LI0OGJ  
oQ "_3M  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： _,=7z/*[  
IGew<:w  
　　推导： gVaV%,e+|  
f cet  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 #tS}|R  
{!z,qw  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) H-*IeTkRj9  
r(o"Fr  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) i1'Sa  
gc0h|t}b  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ZZ[v9C+  
j:h;9B4}  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） &d88 u  
MzR-X:SKQ  
　　[1] ?J&20 L  
WZ:}^Xs  
　　两角和公式 y &8"QAk#  
lO%<>Bcqx/  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB k\J~I!?t  
I%mAQG}W<  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  nWn5(~BWl  
@3xR/BxT  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB @4@S_.rN  
;0"vBmD,  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB InH8` =  
5Hec6l[1)  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ZmQK7!|P)  
V ao%lPwn  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ~]AZ=AR.Y_  
lQ 9Qt  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  }ni5E_  
( e7`[^ )  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) }Wn2d;1  
!;^e^_zX  
倍角公式 o&BQ-=  
S =)wl,o  
　　Sin2A=2SinA•CosA S13z[wK  
 ^$g#!@  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 S%dDPvK]G  
\QmU.H  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） W3`0c;W  
v)pl}hX;  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） $z9]>7V  
R|-x"[/I  
三倍角公式 9A)S0},'  
8MLM3cR`I  
　　 |!1MMbm  
6>Ihb.`<hM  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) E$koR*  
gR(( {)n  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) v>Vl=P  
c3A[Y _~  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) \1kWrL  
8=(A*G3,Z  
三倍角公式推导 6W+!_E5  
k > :Ji<  
　　sin3a w^Ww.SF0e  
(_{goV)s  
　　=sin(2a+a) !m_!*#"\  
wz-m]:#  
　　=sin2acosa+cos2asina Wyvp9E_o  
NSp {@bF.  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina +$pvx?]Y~  
TDm7+24  
　　=3sina-4sin³a @o(`c~P  
TQvMC2  
　　cos3a ]p{i"h3P  
]g|TGkc!  
　　=cos(2a+a) G=ebHJI-N  
H Q  m^  
　　=cos2acosa-sin2asina jQc ^hT  
{{/InHb%  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa cUmb.i  
Blj.@< -O  
　　=4cos³a-3cosa 2n6C{{%gk  
 oP6A;s  
　　sin3a=3sina-4sin³a 3C neSR+  
)@i9||&}Us  
　　=4sina(3/4-sin²a) 8 awFX6Bf  
tWZn+R&  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] qR'@O3  
7vM9{H  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) >UTMAFE>"  
6/4i 2C_  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) NA|;Pt 2  
PXk0tuXvQ  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] N ?YAX@8  
9>uO|VYe  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) jVsS2w>D  
Qx R Abd  
　　cos3a=4cos³a-3cosa <9jc 8   
K$ Wn  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ff}](2[\,K  
%( D@^]j  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] _&JIUP  
/g"N- z.o  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) pBMo=gC{R3  
T@; &PVOy  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) v<f`oT  
] U'<~CW  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} eu{s9rN  
7 B7` `=v  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) H :% R0vi  
v3Gds&rA  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] B? 3LI-N$  
k+&T2d  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ?wp*eT%](Z  
FcrmN(y  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) UM@>y}(  
&9 )2U6BB  
　　上述两式相比可得 F[oEj}4  
h cu=,x\D  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) WP{E#:3  
^<F$3A9D  
半角公式 QBaQ_ Sg'5  
`KPiuK  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); x[MI7p23,  
(*r[8 8zg  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. jVw}v  
|6?[_VT  
和差化积 {SZvFfG  
K\- IS>u0o  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] `sD(MSC9?  
.2KmX}x  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 5xb$ef0N^(  
XxOi'|W|  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 7<Da/-d  
 @~<1  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] k5k{00  
d2 >1$o  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) G|ns$T9DX  
07N5~>[  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Y w&JYI\5  
|z^PB&Im$  
积化和差 J7l[D^#A  
[WsmP- j#  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ^I{TIYd  
z77Ng{>  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ENtvVps,  
s`=(M}k@  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] "=OZX d$&  
iM 3$g[  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] !-(abmX1  
@K:Dhb  
诱导公式 AE|m4Jcz%s  
Tw]z6s  
　　sin(-α) = -sinα wAbv#}nSv  
YM- gy  
　　cos(-α) = cosα Ua p*  
\szrR0N  
　　sin(π/2-α) = cosα N@9Nya  
'% @wN!7  
　　cos(π/2-α) = sinα W9H*B<n,^  
(<o7`  
　　sin(π/2+α) = cosα M)H]Md=q  
F M`bfb!  
　　cos(π/2+α) = -sinα R@`@H'qd  
7#!B8y*yU0  
　　sin(π-α) = sinα ymu=aYv&]Q  
gN7p$$4-  
　　cos(π-α) = -cosα .Bw!65/;  
x!(m|1Ig9  
　　sin(π+α) = -sinα <q>1>>ZR 7  
sn48"Z|U  
　　cos(π+α) = -cosα O1j\6xma  
@ @Q  
　　tanA= sinA/cosA 2 (j}WJ%n  
K$kMQ&(1  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ^ L~n#9p  
9(E^o.! mV  
　　tan（π/2－α）＝cotα Q:Q^[oTWTv  
QC8mYJiVnu  
　　tan（π－α）＝－tanα H[cb{T&&  
!Eo!,\8M  
　　tan（π＋α）＝tanα 0ygZ4[q  
!hf8  X  
万能公式 37"^{VZU  
k+.ED  
　　 co]b]$38V  
/s|~c+D}b  
其它公式 1 (*Wgg}  
qMJy1rox  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 f0GVI4  
hX`UiU`?x  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 P ysJu \  
M#j\)kq  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 \[E]-pV$  
.!9,j  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 (/!|".c  
DM(}n  
　　对于任意非直角三角形,总有 W6]sMis  
\ cl_G_}  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC '0aZM+/`-  
jU2Bonjo  
　　证: "QfOo.t  
#e49,L2  
　　A+B=π-C *(/b+Yl8F  
d~l)^0$B>  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 7SQ&> u#  
6T-g*W(c3n  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) _^)EaIta  
VIo%Pmz:p  
　　整理可得 [yS8 Uev`  
h,M =2  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC W$ 4 d dQ  
/s =d}r  
　　得证 &NRmE#Gc  
0l_w_ ]Mh]  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 -U#5<B  
1 vTM98 Y  
其他非重点三角函数 o<tW}  
IidsB h  
　　csc(a) = 1/sin(a) ^> ]sCG)  
/N$"X,P  
　　sec(a) = 1/cos(a) D<kSTw'H  
;\u!pB,q  
　　 s GE"&>Rg  
bqqUex2t  
双曲函数 rH%0O}sK  
WO XS  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 4=G!  
FC@`'HZO  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 +)])iLy"t  
6kxL*:Gv  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) QoEr-Ahwb  
<3M&#m O  
　　公式一： og3 1}Wo  
5W(me!f`y  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： {!qFgn'  
M20#y<M4  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Xi! /-r  
8,&a9exl-  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ) 2L}st2  
r37y^ 1.L  
　　tan（kπ＋α）= tanα H `w/L^u  
,~au\ fR  
　　cot（kπ＋α）= cotα "a D*'hi  
u-/EP"Q  
　　公式二： i:ym,-'_  
&/3vq{_w2  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： $uH + 2O  
3My yb)  
　　sin（π＋α）= -sinα fni&<_I  
j l$?#:  
　　cos（π＋α）= -cosα + UDPub0  
2:^f,X  
　　tan（π＋α）= tanα ^X &'{;  
0 yuBs&  
　　cot（π＋α）= cotα )pL0tdY  
Kx e0 JV  
　　公式三： ~wRVcsz  
;N?z{MVjt  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： hDt7ZT"(M  
< # n7"*S  
　　sin（-α）= -sinα YT+y|_ :  
-ET6?w]  
　　cos（-α）= cosα 8yx4+Onf  
<YT&]6  
　　tan（-α）= -tanα WZPfK@}  
,x{5,NV}  
　　cot（-α）= -cotα ! P9u %{  
"'J Oafj3G  
　　公式四： $#gqV_  
k!h2*R6%  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： U~h]!l)  
_\)?{%6  
　　sin（π-α）= sinα 7_6^gk,$%  
4O &0  
　　cos（π-α）= -cosα R}p6f V(m  
O]p '5 op1  
　　tan（π-α）= -tanα L I  
s".KWjX  
　　cot（π-α）= -cotα 8Rp5G2$g  
+iP Ou}-  
　　公式五： ' `wk~}  
U,R0#+".  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： .#Vtnmy  
8= qV2{  
　　sin（2π-α）= -sinα S+LE13z0*]  
{*H]pd  
　　cos（2π-α）= cosα (^M;StY;B  
~>4Sx6  
　　tan（2π-α）= -tanα c{5s]O)U~  
m=]t)o@  
　　cot（2π-α）= -cotα (8F5yJs  
5&GfI6.?  
　　公式六： (T8=Jlj  
.`htBnd?  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 6Ukr  
;keN0)2t  
　　sin（π/2+α）= cosα jY{V"gz  
0 13/ST2{  
　　cos（π/2+α）= -sinα y0s>,I_`B  
7Ubp0BT  
　　tan（π/2+α）= -cotα @@]i4O_Xc/  
DtA3h,MaN  
　　cot（π/2+α）= -tanα s"x|s;ep  
r /D'7si-  
　　sin（π/2-α）= cosα Sna;j QF.  
K k +h0lU  
　　cos（π/2-α）= sinα o:v!FG  
yLb#!L+  
　　tan（π/2-α）= cotα 7[IJq  
bZI,~cin  
　　cot（π/2-α）= tanα <G3NJlJ  
W=|,/e  
　　sin（3π/2+α）= -cosα V6ON(UF  
myn'R/0p  
　　cos（3π/2+α）= sinα ,rpIg}h  
|k&jr  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 7{%hv+"  
Y]zi,j  
　　cot（3π/2+α）= -tanα e}0y+!F|  
s%z0p@8  
　　sin（3π/2-α）= -cosα :;+ )V'F  
Xe Y}N)  
　　cos（3π/2-α）= -sinα +BN<'sNm~w  
N"56pW<!  
　　tan（3π/2-α）= cotα %(b=!Y)d"  
L#>E*q  
　　cot（3π/2-α）= tanα zn&M9 x  
S"SHRxZM  
　　(以上k∈Z) Zu,6W^R  
{xgk(eZE  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 )28|\J*0  
oV_K(#a=`  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 3+I ne Va  
^Sx+`TCK  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } hUU sH*  
\} 5 {Ax  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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